Διαστολή του χρόνου

Ας δούμε τώρα πώς μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει σχήματα σαν το προηγούμενο και ιδέες από τη γεωμετρία του χωρόχρονου, για να μελετήσει διάφορα φαινόμενα. Θα ξεκινήσομε με το φαινόμενο της διαστολής του χρόνου. 'Εχομε να συγκρίνομε χρονικές αποστάσεις γεγονότων ως προς δύο αδρανειακούς παρατηρητές. Ας σχεδιάσομε τους αντίστοιχους άξονες των συντεταγμένων τους στον χωροχρόνο. Ας πάρομε τον πρώτο (Σ) να έχει το σύστημα αξόνων χ,ct του σχήματος που ακολουθεί, και ας σχεδιάσομε τον κώνο φωτός που αντιστοιχεί στην αρχή των αξόνων.

Σχήμα 24: Τα δύο αδρανειακά συστήματα αναφοράς και η διαστολή του χρόνου.

Aς πάρομε το δεύτερο σύστημα αναφοράς χ',ct' (Σ'), που κινείται με ταχύτητα V ως προς το Σ, έτσι ώστε η αρχή των αξόνων του να συμπίπτει με την αρχή του Σ τη στιγμή t=0=t'. O άξονας των χρόνων του Σ' είναι η κοσμική γραμμή με χ'=0 ¹⁶. Από την άλλη όμως, η κοσμική γραμμή με χ'=0 είναι η η κοσμική τροχιά ενός σώματος στην αρχή των αξόνων του Σ'. 'Αρα είναι η γραμμή με εξίσωση

 

x=Vt (122)

η γραμμή (ct') του σχήματος. Ο χωρικός άξονας χ' του Σ' είναι τέτοιος ώστε η τροχιά του φωτεινού κύματος να είναι διχοτόμος της γωνίας που σχηματίζουν οι άξονες x' και ct'. H διαστολή του χρόνου. Φανταστείτε ένα ρολόι ακίνητο στην αρχή των αξόνων του Σ'. Τη στιγμή που πέρναγε από την αρχή των αξόνων του Σ έδειχνε t'=0, όπως και τα ρολόγια του Σ. Λίγο αργότερα, οι χωροχρονικές συντεταγμένες του ρολογιού είναι αυτές του γεγονότος Α. Σύμφωνα με τον Σ έχει περάσει χρόνος t_A και το ρολόι βρίσκεται στη θέση x_A. Αντίστοιχα, κατά τον Σ' το ρολόι βρίσκεται στη θέση x'_A=0 και η ώρα είναι t'_A, oι συντεταγμένες του γεγονότος Α στο Σ'. Το ζητούμενο είναι να βρούμε ποιά σχέση συνδέει τους χρόνους t_A και t'_A. Xρησιμοποιούμε τη σχέση (40) για το γεγονός Α και γράφομε

$$c^2t_A^2-x_A^2=c^2t^{\prime 2}_A$$ (123)

Aπο την άλλη, το γεγονός Α βρίσκεται πάνω στη γραμμή με εξίσωση την (118), οπότε

x_A=Vt_A (124)

O συνδυασμός των δύο αυτών δίνει

$$t_A={{t'_A}\over{\sqrt{1-V^2/c^2}}}$$ (125)

Η γνωστή μας σχέση για την διαστολή του χρόνου. Για δύο γεγονότα που συμβαίνουν στην ίδια θέση ως προς τον Σ', ο Σ μετράει μεγαλύτερη χρονική απόσταση απ' ό,τι ο Σ'.

ΠΡΟΣΟΧΗ: ΔΕΝ ισχύει το θεώρημα του Πυθαγόρα στον χωρόχρονο. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΑΒ το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται, σύμφωνα με την (119), με τη διαφορά των τετραγώνων των καθέτων πλευρών, και όχι με το άθροισμά τους.