Συστολή του μήκους

Θα εφαρμόσωμε τώρα την ίδια μεθοδολογία για να μελετήσομε το φαινόμενο της συστολής του μήκους. Για το σκοπό αυτό θα πάρομε μια ράβδο ακίνητη στο σύστημα Σ του προηγουμένου σχήματος. Θα τοποθετήσομε για απλότητα το ένα άκρο της ράβδου στην αρχή των αξόνων χ=0 του Σ. Το άλλο θα έχει συντεταγμένη χ_Β=L₀. Προφανώς, το μήκος της ράβδου κατά τον Σ είναι L₀. Η κοσμική τροχιά του ενός άκρου της ράβδου είναι ο άξονας των χρόνων ct του Σ, ενώ το άλλο άκρο διαγράφει την τροχιά (Β) του σχήματος....... Aς πάρομε τώρα και έναν δεύτερο παρατηρητή Σ', που όπως στο προηγούμενο σχήμα κινείται ως προς τον Σ προς τα δεξιά με ταχύτητα V. Οι άξονες του Σ' είναι οι x' και ct' του σχήματος. 'Εστω ότι ο Σ' μετρά και αυτός το μήκος της ράβδου. Για να το κάνει αυτό θα πρέπει σε κάποια χρονική στιγμή t'₀ της επιλογής του, να σημειώσει τις θέσεις χ'_Α και χ'_Δ του αριστερού και δεξιού άκρου της ράβδου. Το μήκος της κατά τον Σ' θα είναι L=x'_Δ-x'_A.

Σχήμα 25:

Ας κάνομε λοιπόν ακριβώς αυτό. Διαλέγομε να κάνομε τη μέτρηση τη χρονική στιγμή t'=0. Tο αριστερό άκρο της ράβδου βρίσκεται στην αρχή των αξόνων x'_A=0. Tο δεξί βρίσκεται σε εκείνο το σημείο της κοσμικής τροχιάς που αντιστοιχεί σε t'=0, ήτοι στο σημείο Δ με τετμημμένη χ'_Δ. Για το γεγονός Δ γράφομε

$$0-x^{\prime 2}_Δ=c^2t_Δ^2-L_0^2 \;\; \rightarrow \;\; L^2=L_0^2-c^2t_Δ^2$$ (126)

Το γεγονός Δ βρίσκεται πάνω στην γραμμή t'=0. Απο την (36) συμπεραίνομε οτι τα σημεία της γραμμής αυτής ικανοποιούν τη σχέση t=Vx/c². 'Αρα ισχύει

t_Δ=Vx_Δ/c²=VL₀/c² (127)

Συνδυάζοντας τις δύο τελευταίες εξισώσεις καταλήγομε στην γνωστή μας σχέση

$$L=L_0\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}$$ (128)

Τα μήκη μικραίνουν όταν κινούμαστε ως προς αυτά.