H ενέργεια σώματος - Ενέργεια ηρεμίας

Θα πάρομε τώρα ένα σώμα που είναι αρχικά ακίνητο στη θέση χ₁ του άξονα των χ ενός αδρανειακού συστήματος αναφοράς. Μιά μεταβαλλόμενη εν γένει δύναμη F(x) ασκείται πάνω του, πάντα στη χ κατεύθυνση, υπο την επίδραση της οποίας το σώμα μετατοπίζεται πάνω στον άξονα των χ ¹⁰. 'Οταν το σώμα βρίσκεται στη θέση χ₂ η ταχύτητά του είναι v. Γνωρίζετε απο την μηχανική οτι το έργο W(x₁,x₂) που καταναλώθηκε από την δύναμη πάνω στο σώμα κατά την μετατόπισή του από την θέση χ₁ στην χ₂, ή ισοδύναμα από την αρχική ταχύτητα μηδέν στην τελική v, ισούται προς την μεταβολή της ενέργειας του σώματος. Μάλιστα, αφού το σώμα ξεκίνησε από ηρεμία το έργο αυτό ισούται επίσης και με την κινητική ενέργεια που απέκτησε τελικά το σώμα. Γράφομε λοιπόν

 

W(x₁,x₂)=Ε_τελική-Ε_αρχική=Κ(v) (57)

Γνωρίζετε ακόμα οτι το έργο της δύναμης F(x) απο την αρχική θέση στην τελική, δίδεται από το ολοκλήρωμα

$$W(x_1,x_2) = \int_{x_1}^{x_2} F(x)dx=\int_{x_1}^{x_2}{{dp(x(t))}\over{dt}}dx= \int_{x_1}^{x_2}{{dp}\over{dv}}{{dv}\over{dx}}{{dx}\over{dt}}dx$$

$$= \int_0^v {{dp}\over{dv}}vdv=\int_0^v {m\over{(1-v^2/c^2)^{3/2}}}vdv$$

$$= {{mc^2}\over{\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}}}-mc^2$$

$$\equiv K(v)$$ (58)

Σύμφωνα επομένως με την (57) η κινητική ενέργεια σώματος με μάζα m και ταχύτητα v δίδεται από τη σχέση

$$\fbox{$\displaystyle K(v)={{mc^2}\over{\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}}}-mc^2 $ }$$ (59)

ενώ η ολική ενέργεια σώματος με μάζα m και ταχύτητα v είναι

$$\fbox{$\displaystyle E={{mc^2}\over{\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}}} $ }$$ (60)

Μερικά σημαντικά σχόλια έχουν τώρα σειρά: (1) Σε αντίθεση με αυτά που μάθαμε στη Νευτώνεια μηχανική, ένα ακίνητο σώμα με μάζα m έχει ενέργεια

$$\fbox{$\displaystyle E_0=mc^2 $ }$$ (61)

την οποία ονομάζομε για προφανείς λόγους ενέργεια ηρεμίας του σώματος.

(2) Χρησιμοποιείστε τις εκφράσεις (59) και (53) της ενέργειας και της ορμής σώματος μάζας m, που αποδείξαμε παραπάνω, και επαληθεύσετε οτι ισχύει η σχέση

$$\fbox{$\displaystyle E^2-c^2{\bf p}^2=m^2c^4 $ }$$ (62)

(3) Σωμάτια με μηδενική μάζα. Ποιά είναι η ενέργεια και η ορμή σωματίων με μάζα μηδεν, όπως τα φωτόνια, πιθανόν τα ελαφρύτερα νετρίνα ($\nu_e$), ή τα βαρυτόνια; Θυμάστε απο την εισαγωγή των σημειώσεων αυτών οτι σύμφωνα με την Νευτώνεια μηχανική, τόσο η ενέργεια όσο και η ορμή ενός σώματος με μηδενική μάζα είναι μηδεν, κάτι που αντιβαίνει στην καθημερινή μας εμπειρία, τουλάχιστον σε ο,τι αφορά τα φωτόνια. Το ίδιο όμως μοιάζει να συμβαίνει και με τις εκφράσεις (59) και (53). Και αυτές για m=0 οδηγούν στο συμπέρασμα οτι $E=0={\bf p}$. Το αδιέξοδο αίρεται από το γεγονός οτι τα σωμάτια με μηδενική μάζα κινούνται αναγκαστικά με την ταχύτητα του φωτός c. 'Eτσι, πρέπει κανείς να αντικαταστήσει ταυτόχρονα m=0 και v=c στους τύπους της ενέργειας και της ορμής. Στην περίπτωση αυτή οδηγείται στην απροσδιόριστη μορφή 0/0. Η ενέργεια και η ορμή ξεχωριστά δεν υπολογίζονται από τις σχέσεις (59) και (53). Ικανοποιούν όμως την (61), που στο όριο $m\to 0$ δίνει

$$\fbox{$\displaystyle E=\vert{\bf p}\vert c $ }$$ (63)

Αυτή είναι η σχέση που συνδέει την ενέργεια και την ορμή σωματίων με μηδενική μάζα ¹¹ . Αν γνωρίζομε την ενέργεια ενός φωτονίου, τότε από τον τύπο αυτό υπολογίζομε την ορμή του, και αντίστροφα. Ειδικά για φωτόνιο ακτινοβολίας συχνότητας $\nu$ γνωρίζετε οτι έχει ενέργεια $Ε=h\nu$. Tο μέτρο της ορμής αυτού του φωτονίου είναι $\vert{\bf p}\vert=E/c=h\nu/c$. (4) Για σώματα που κινούνται με μικρές ταχύτητες ο τύπος της ενέργειας του Νεύτωνα αποτελεί καλή προσέγγιση της κινητικής ενέργειας Κ(v). Πράγματι, για $v/c \ll 1$ μπορούμε να γράψομε

$$K(v) = mc^2\Bigl({1\over{\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}}}-1\Bigr)$$

$$\simeq mc^2\Bigl(1+{1\over 2}{{v^2}\over{c^2}}-{3\over 8}{{v^4}\over{c^4}}+....-1\Bigr)$$

$$\simeq {1\over 2}mv^2-{3\over 8}m{{v^4}\over{c^2}}+...$$ (64)

ήτοι, η Νευτώνεια έκφραση της κινητικής ενέργειας, συμπληρωμένη με τις λεγόμενες σχετικιστικές διορθώσεις.

Μονάδες μάζας - ορμής. Πολύ συχνά και ιδιαίτερα στην Πυρηνική Φυσική και στη Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων οι μάζες μετρώνται σε μονάδες Ενέργειας/c². 'Ετσι γράφομε

$$m_e\simeq 0.511 MeV/c^2 \;,\;\; m_p\simeq 938.3 MeV/c^2 \;,\;\; m_n\simeq 939.6 MeV/c^2$$ (65)

για τις μάζες του ηλεκτρονίου, του πρωτονίου και του νετρονίου, αντίστοιχα. Επίσης, η ορμή μετράται συχνά σε μονάδες Ενέργειας/c. Σας υπενθυμίζω οτι $1eV=1.6\times 10^{-12}erg=1.6\times 10^{-19}Joule$. 1MeV=10⁶ eV, 1GeV=10⁹ eV κ.ο.κ.


ΑΣΚΗΣΗ 1: Ηλεκτρόνιο έχει ταχύτητα v=0.85c. Πόση είναι η ενέργεια και πόση η κινητική ενέργεια του ηλεκτρονίου αυτού; Απάντηση:

$$E={{mc^2}\over{\sqrt{1-v^2/c^2}}}={0.511\over{\sqrt{1-0.85^2}}} MeV = 0.97 MeV \;,\;\; K=E-mc^2=0.459 MeV$$ (66)

ΑΣΚΗΣΗ 2: Πρωτόνιο έχει ενέργεια Ε=3m_pc². (α) H ενέργεια ηρεμίας του είναι m_pc²=938.3MeV. (β) H ταχύτητά του υπολογίζεται απο τη σχέση

$${{m_pc^2}\over{\sqrt{1-v^2/c^2}}}=3m_pc^2 \rightarrow 1-{{v^2}\over{c^2}}={1\over 9} \rightarrow v=\sqrt{8}c/3$$ (67)

(γ) Η κινητική του ενέργεια είναι Κ=Ε-m_pc²=2m_pc²=1876.6MeV. (δ) Τέλος η ορμή του είναι

$$p={{m_pv}\over{\sqrt{1-v^2/c^2}}}={{m_pc^2}\over{\sqrt{1-v^2/... ... c}{1\over c}= 3m_pc^2{\sqrt{8}\over 3}{1\over c}=2654 MeV/c$$ (68)

Πριν προχωρήσομε σε μερικές βασικές εφαρμογές των όσων μάθαμε στις προηγούμενες παραγράφους, θα ήθελα να κάνω δύο πολύ χρήσιμα σχόλια:

Σχόλιο 1: Ο μετασχηματισμός της ενέργειας και της ορμής. Ας θεωρήσομε ένα σώμα μάζας m που κινείται ως προς κάποιο σύστημα αναφοράς Σ με ταχύτητα ${\bf v}$. Το σώμα αυτό θα έχει ενέργεια και ορμή που δίδονται απο τους τύπους (59) και (53) αντίστοιχα. Φανταστείτε ένα δεύτερο σύστημα αναφοράς Σ', κινούμενο ως προς το Σ, όπως δείχνει το Σχήμα 1. Οι συνιστώσες της ταχύτητας του σώματος ως προς τον Σ' δίδονται από τις σχέσεις (44), (45) και (46). Χρησιμοποιώντας αυτές, μπορείτε να υπολογίσετε τις συνιστώσες της ορμής $(p_x^\prime, p_y^\prime, p_z^\prime)$ καθώς και την ενέργεια $E^\prime$ του σώματος ως προς τον Σ', συναρτήσει τών αντιστοίχων (p_x, p_y, p_z) και Ε ως προς τον Σ. Η απάντηση που θα καταλήξετε είναι

$$\fbox{$\displaystyle \pmatrix{E^\prime\cr cp_x^\prime\cr ... ...Lambda(V)\pmatrix{E\cr cp_x\cr cp_y\cr cp_z\cr} $ }$$ (69)

με $\Lambda(V)$ τόν ίδιο πίνακα (38) μετασχηματισμού των συντεταγμένων. Με άλλα λόγια, οι τέσσερις ποσότητες (E, cp_x, cp_y, cp_z) μετασχηματίζονται όταν αλλάζομε σύστημα αναφοράς, ακριβώς όπως οι χωροχρονικές συντεταγμένες (ct, x, y, z) των γεγονότων.

Γενίκευση: H σχέση (67) ισχύει γενικά για την ολική ενέργεια Ε και ορμή ${\bf P}$ οποιουδήποτε φυσικού συστήματος. Σκεφτείτε οτι σε κάθε τέτοιο σύστημα η Ε και η ${\bf P}$ μπορούν να θεωρηθούν ως η ενέργεια και η ορμή ${\bf ενός}$ φανταστικού σώματος στο κέντρο μάζας του συστήματος. Γράφομε λοιπόν γενικά

$$\fbox{$\displaystyle \pmatrix{E^\prime\cr cP_x^\prime\cr ... ...Lambda(V)\pmatrix{E\cr cP_x\cr cP_y\cr cP_z\cr} $ }$$ (70)

Σχόλιο 2: Αφού οι μετασχηματισμοί (36) και (68) είναι οι ίδιοι, τα βήματα που οδήγησαν στη σχέση (41) οδηγούν επίσης και στη σχέση

$$\fbox{$\displaystyle E^{\prime 2}-c^2P_x^{\prime 2}-c^2P_y^{... ...2}-c^2P_z^{\prime 2}= E^2-c^2P_x^2-c^2P_y^2-c^2P_z^2 $ }$$ (71)

για την ενέργεια και τις συνιστώσες της ορμής ενός φυσικού συστήματος ως προς δύο οποιαδήποτε αδρανειακά συστήματα.