Σύνθεση ταχυτήτων

Ας πάρουμε τώρα ένα τραίνο (Σ') να κινείται με ταχύτητα V ως προς τη Γη (Σ). Οι παρατηρητές Σ και Σ' παρατηρούν την κίνηση κάποιου σώματος, όπως δείχνει το παρακάτω Σχήμα.

Σχήμα 10: Οι Σ και Σ' παρατηρούν σώμα κινούμενο στο χώρο.

Το ερώτημα που θα απαντήσομε στο κεφάλαιο αυτό είναι: 'Αν (u_x,u_y,u_z) η ταχύτητα του σώματος αυτού σύμφωνα με τον Σ, τί ταχύτητα θα μετρήσει ο Σ';

'Εστω μια απειροστά μικρή μεταβολή στη θέση του σώματος που επιτελείται σε ένα απειροστά μικρό χρονικό διάστημα. Οι μεταβολές αυτές είναι (Δχ,Δy,Δz,Δt) κατά τον Σ, και αντίστοιχα (Δχ',Δy',Δz',Δt') που υπολογίζονται απο τις (36), κατά τον Σ'. Επομένως, οι συνιστώσες της ταχύτητας του σώματος ως προς τον Σ' θα είναι

$$u'_x={{Δx'}\over{Δt'}}={{Δχ-VΔt}\over{Δt-VΔχ/c^2}}= {{{{Δχ}\... ...2}}{{Δx}\over{Δt}}}}= {{u_x-V}\over{1-{{Vu_x}\over{c^2}}}}$$ (44)

$$u'_y={{Δy'}\over{Δt'}}= \sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}} {{u_y}\over{1-{{Vu_x}\over{c^2}}}}$$ (45)

και

$$u'_z={{Δz'}\over{Δt'}}= \sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}} {{u_z}\over{1-{{Vu_x}\over{c^2}}}}$$ (46)

Σχόλιο 1: Οι νέοι τύποι σύνθεσης ταχυτήτων που μόλις αποδείξαμε ανάγονται στους πιό γνώριμούς μας από τη Νευτώνεια μηχανική στο όριο των μικρών ταχυτήτων. Πράγματι για V/c και $\vert{\bf u}\vert/c$ πολύ μικρότερα από τη μονάδα, παίρνομε

$$u'_x \rightarrow u_x - V \;,\;\; u'_y \rightarrow u_y \;,\;\; u'_z \rightarrow u_z$$ (47)

Σχόλιο 2: Οι παραπάνω τύποι σύνθεσης ταχυτήτων προβλέπουν πράγματι οτι το φώς κινείται με την ίδια ταχύτητα c ως προς όλους τους παρατηρητές. Πράγματι, αν το σώμα που μελετάμε παραπάνω είναι ένα φωτόνιο που κινείται στην κατεύθυνση χ, φυσικά με ταχύτητα u_x=c, η ταχύτητά του ως προς τον Σ' θα είναι

$$u'_x={{c-V}\over{1-V/c}}=c$$ (48)

Το αποτέλεσμα αυτό δεν αποτελεί έκπληξη, αφού η ιδιότητα αυτή του φωτός χρησιμοποιήθηκε ήδη στην απόδειξη του μετασχηματισμού Lorentz.

Σχόλιο 3: Τα σχόλια 1 και 2 που μόλις κάναμε είναι πολύ χρήσιμα ως μνημονικός κανόνας, προς αποφυγή λαθών στον τύπο σύνθεσης ταχυτήτων που πρέπει κανείς να χρησιμοποιήσει σε διάφορες εφαρμογές.


ΑΣΚΗΣΗ: Να γράψετε το μετασχηματισμό Lorentz από το σύστημα Σ στο Σ' του σχήματος που ακολουθεί.

Σχήμα 11.

ΑΣΚΗΣΗ: Ομοίως για την περίπτωση του παρακάτω σχήματος

Σχήμα 12.