next up previous
Next: Η συστολή του μήκους Up: No Title Previous: Η σχετικότητα του ταυτόχρονου

Η διαστολή του χρόνου

Ποιά ακριβώς είναι η σχέση που συνδέει το Δt με το $Δt^\prime$ για μια δεδομένη σχετική ταχύτητα V των δύο παρατηρητών; Πριν απαντήσομε το ερώτημα αυτό γενικά, θα ξεκινήσω με έναν ειδικό συνδυασμό γεγονότων και παρατηρητών για τους οποίους η σχέση αυτή είναι ιδιαίτερα εύκολο να προσδιοριστεί. Ας πάρομε λοιπόν την περίπτωση ενός συστήματος αναφοράς Σ, και it δύο γεγονότων που λαμβάνουν χώρα στην ίδια θέση ως προς τον Σ. Σ' είναι ένας άλλος παρατηρητής που κινείται με ταχύτητα V σχετικά με τον Σ, όπως δείχνει το σχήμα 1. Ας αναφέρω εδώ μερικά παραδείγματα τέτοιων ζευγών γεγονότων. (α) Η διέλευση ενός ηλεκτρονίου από την αρχή των αξόνων ενός αδρανειακού συστήματος, και το άναμα ενός λαμπτήρα στο ίδιο σημείο. (β) Φανταστείτε εμένα να κινούμαι ως προς εσάς (καθισμένοι στα θρανία σας) με ταχύτητα V κρατώντας σταθερά στα χέρια μου ένα απλό εκκρεμές, που εκτελεί ταλάντωση. Δύο διαδοχικές μέγιστες απομακρύνσεις του εκκρεμούς συνιστούν δύο γεγονότα που λαμβάνουν χώρα στο ίδιο σημείο ως προς το σύστημα αναφοράς το στερεωμένο πάνω μου. Εσείς αποτελείτε το σύστημα Σ'. (γ) Φανταστείτε πάλι εμένα να κινούμαι ως προς εσάς με σταθερή ταχύτητα. Ας παρατηρήσομε ένα μόριο στην επιφάνεια της καρδιάς μου. Η καρδιά και επομένως και το κάθε μόριό της εκτελεί περιοδική κίνηση. Δύο μέγιστες απομακρύνσεις του μορίου αυτού είναι δύο γεγονότα που λαμβάνουν χώρα στην ίδια θέση ως προς εμένα. Ο βιολογικός μου ρυθμός καθορίζεται από τους παλμούς της καρδιάς μου, δηλαδή από την περίοδο της περιοδικής αυτής κίνησης.

\includegraphics[width=12cm]{f07.eps}
Σχήμα 4: Η διάταξη της ράβδου με τον λαμπτήρα και το κάτοπτρο.

Η σχέση ανάμεσα στους χρόνους Δt και Δt' σε όλες τις περιπτώσεις αυτές μπορεί να προσδιοριστεί με το εξής τέχνασμα: Ας πάρουμε μία ράβδο, στο ένα άκρο της οποίας έχομε στερεώσει μια λάμπα και στο άλλο έναν καθρέπτη κάθετα στη ράβδο, όπως δείχνει το σχήμα 4. Η λάμπα ανάβει κάποια στιγμή και το φως της διαδίδεται μέχρι τον καθρέπτη, ανακλάται και επιστρέφει εκει απο όπου ξεκίνησε. Τα γεγονότα ${\cal Α}$=εκπομπή της φωτεινής δέσμης και ${\cal Β}$=επιστροφή της στο σημείο εκκίνησης είναι δύο γεγονότα που λαμβάνουν χώρα εξ ορισμού στο ίδιο σημείο στο σύστημα αναφοράς (Σ) της ράβδου. Ως προς το σύστημα Σ το φως διήνυσε απόσταση 2(ΑΒ)=2d με ταχύτητα c, και επομένως, ο χρόνος που πέρασε από την εκπομπή του φωτός μέχρι την επιστροφή του στο σημείο εκκίνησης είναι

 \begin{displaymath}(\Delta t)_\Sigma={{2d}\over c}
\end{displaymath} (6)

O παρατηρητής Σ και μαζί με αυτόν η ράβδος, κινούνται ως προς τον Σ' με ταχύτητα V προς τα δεξιά, όπως δείχνει το Σχήμα 4. Επομένως, ο Σ' θα δει την δέσμη φωτός να ακολουθεί την τροχιά Α'Β'Γ' και με τήν ίδια ταχύτητα c σύμφωνα με το δεύτερο αξίωμα. Προφανώς, αφού η απόσταση Α'Β'Γ' είναι μεγαλύτερη της 2d, ο χρόνος ΔtΣ' που ο Σ' θα μετρήσει ανάμεσα στα γεγονότα ${\cal A}$ και ${\cal B}$ θα είναι μεγαλύτερος του ΔtΣ. Για να βρούμε τη σχέση που τους συνδέει ας εφαρμόσομε το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο Α'Β'Δ. Παίρνομε

\begin{displaymath}\Bigl({{V\Delta t_{\Sigma '}}\over 2}\Bigr)^2+d^2=
\Bigl({{c\Delta t_{\Sigma '}}\over 2}\Bigr)^2
\end{displaymath} (7)

Λύνοντας ως προς ΔtΣ', κάνοντας χρήση και της (6), καταλήγομε στoν τύπο της διαστολής του χρόνου

 \begin{displaymath}\fbox{ $ \displaystyle
\Delta t_{\Sigma '}={{\Delta t_\Sigma} \over{\sqrt{1-{{V^2}\over {c^2}}}}}
$\space }
\end{displaymath} (8)

Ο παρονομαστής στο δεξιό μέλος είναι μικρότερος από την μονάδα. 'Αρα, ο χρόνος που μετράει ο παρατηρητής (Σ') που κινείται ως προς την θέση των δύο γεγονότων, είναι μεγαλύτερος απο αυτόν που μετράει ο παρατηρητής (Σ) ως προς τον οποίο τα γεγονότα συμβαίνουν στο ίδιο σημείο. Σημειώστε οτι διαλέγοντας κατάλληλα το μήκος της ράβδου μπορούμε να κάνομε τη χρονική απόσταση Δt ανάμεσα στα γεγονότα της συσκευής αυτής να συμπίπτει με την απόσταση ανάμεσα στα δύο γεγονότα οποιουδήποτε απο τα παραδείγματα (α)-(γ). Κατά συνέπεια, η παραπάνω σχέση αναφέρεται και σε οποιαδήποτε ζεύγη γεγονότων, αρκεί να λαμβάνουν χώρα στην ίδια θέση του ενός από τους δύο παρατηρητές.


Εφαρμογή 1: H διάσπαση του μ-μεσονίου. Το σωμάτιο μ έχει μέσο χρόνο ζωής $τ_μ\simeq 2.2\times 10^{-6} sec$. Ζει δηλαδή ως προς το σύστημα ηρεμίας του 6 κατά μέσο όρο χρόνο τμ προτού διασπαστεί σε e, $\nu_\mu$ και ${\bar \nu}_e$. Ας πάρομε τώρα ενα μ-μεσόνιο που κινείται μέσα σε έναν επιταχυντή, ή που έρχεται προς την Γη, με ταχύτητα V. Πόσο χρόνο τ'μ (πάντα κατά μέσο όρο) θα ζήσει το σωμάτιο αυτό ως προς παρατηρητή ακίνητο στη Γη; Τα γεγονότα δημιουργία και διάσπαση του μεσονίου λαμβάνουν χώρα στην ίδια θέση στο σύστημα ηρεμίας του (Σ). Απο τον (8) βρίσκομε

\begin{displaymath}τ'_μ={{τ_μ}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over {c^2}}}}}
\end{displaymath} (9)

Επομένως, ως προς τον γήινο παρατηρητή ένα τέτοιο μεσόνιο στη διάρκεια της ζωής του θα διανύσει απόσταση ίση προς

\begin{displaymath}l'=Vτ'_μ={{Vτ_μ}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over {c^2}}}}}
\end{displaymath} (10)



Εφαρμογή 2: Ο μέσος χρόνος ζωής ενός κοσμοναύτη. Κοσμοναύτης ταξιδεύει στο διάστημα με ταχύτητα V ως προς την Γη. Ο μέσος χρόνος ζωής του (στο σύστημα ηρεμίας του) είναι ας πούμε τ=76 έτη. 'Ενας παρατηρητής στη Γη θα μετρήσει στο δικό του ρολόι οτι πέρασαν

\begin{displaymath}τ'={τ\over{\sqrt{1-{{V^2}\over {c^2}}}}}
\end{displaymath} (11)

Για V πολύ κοντά στην ταχύτητα του φωτός, ο χρόνος τ' μπορεί να γίνει αυθαίρετα μεγάλος, και η απόσταση που μπορεί να διανύσει ένας κοσμοναύτης στην διάρκεια της 76χρονης ζωής του, επίσης αυθαίρετα μεγάλη. Αυτά συμπεραίνει ο γήινος παρατηρητής. 'Αρα διαλέγοντας αρκετά μεγάλη ταχύτητα, μπορεί κάποιος να φύγει απο την Γη και να πάει όσο σύντομα θέλει στον γαλαξία Ανδρομέδα που απέχει απο τη Γη 900000 έτη φωτός.

Ερώτηση 1: Με τί ταχύτητα ως προς τη Γη πρέπει να ταξιδέψει κάποιος ώστε σε ένα έτος (δικό του) να φτάσει στην Ανδρομέδα που απέχει απο τη Γη 900000 έτη φωτός; Η ζητούμενη ταχύτητα V δίδεται απο τη σχέση

\begin{displaymath}{{V \times 1 έτος}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over {c^2}}}}}=9\times 10^5 έτη c
\end{displaymath} (12)

δηλαδή

\begin{displaymath}{V\over c}\sim 1-{1\over{162\times 10^{10}}}
\end{displaymath} (13)



Ερώτηση 2: Πόσος χρόνος τ' πέρασε σύμφωνα με τον γήινο παρατηρητή ανάμεσα στην αναχώρηση του κοσμοναύτη απο τη Γη και την άφιξή του στην Ανδρομέδα; Ο τύπος (8) δίνει

\begin{displaymath}τ'= {{1 έτος}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over {c^2}}}}}\sim 9\times 10^5 έτη
\end{displaymath} (14)

Δυστυχώς, ο Γήινος παρατηρητής δεν θα ζεί για να μάθει τι είδε ο κοσμοναύτης στον μακρινό γαλαξία που επισκεύτηκε.






next up previous
Next: Η συστολή του μήκους Up: No Title Previous: Η σχετικότητα του ταυτόχρονου
Konstantinos Anagnostopoulos
2002-03-13