Η συστολή του μήκους

Θα χρησιμοποιήσω τώρα τα παραπάνω για να αποδείξω οτι και οι χωρικές αποστάσεις εξαρτώνται από τον παρατηρητή που τις μετράει. Δύο παρατηρητές με σχετική ταχύτητα V που μετράνε την ίδια απόσταση, βρίσκουν διαφορετικά αποτελέσματα. Φανταστείτε δύο διαφορετικούς παρατηρητές να μετράνε το φάρδος της αίθουσας διδασκαλίας. Ο ένας είναι ο παρατηρητής Σ' που κινείται ως προς την αίθουσα με ταχύτητα V και ο άλλος Σ είσαστε εσείς ακίνητοι μέσα στην αίθουσα.

Σχήμα 5: Μέτρηση του πλάτους της αίθουσας διδασκαλίας.

Ο χρόνος που χρειάζεται ο Σ' να διανύσει την απόσταση απο την μιά άκρη της αίθουσας στην άλλη είναι Δt' σύμφωνα με τον Σ' και Δt για τον Σ. Σύμφωνα με τα παραπάνω έχομε

$$\Delta t={{\Delta t'}\over{\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}}}$$ (15)

Επομένως, κατά τον Σ το φάρδος της αίθουσας είναι

$$L=V\Delta t$$ (16)

ενω ο Σ' βρίσκει

$$L'=V\Delta t'=V\Delta t\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}}$$ (17)

από την οποία, χρησιμοποιώντας την $L=V\Delta t$ καταλήγομε

$$\fbox{$\displaystyle L^\prime=L\sqrt{1-{{V^2}\over{c^2}}} $ }$$ (18)

'Aρα, ο παρατηρητής Σ' που κινείται ως προς την μετρούμενη απόσταση μετράει μικρότερο μήκος από αυτό που μετράει ο Σ, στο σύστημα ηρεμίας της. Χρησιμοποίησα το παράδειγμα της αίθουσας για να αποδείξω τον τύπο της συστολής του μήκους, αλλά προφανώς τα ιδια ισχύουν για οποιοδήποτε μήκος και να μέτραγαν οι δύο αδρανειακοί παρατηρητές. Εφαρμογή 1: Σαν βγω στον πηγαιμό για την...Ανδρομέδα, ξέρω οτι η απόσταση που έχω να διανύσω ΔΕΝ ειναι τα L=900000 έτη φωτός πού έχομε μετρήσει από τη Γη αλλά L'=L(1-V²/c²)^1/2, που με κατάλληλη επιλογή της ταχύτητάς μου μπορεί να γίνει όσο μικρή θέλω. Διαλέγοντας την ταχύτητά μου αρκετά κοντά στο c μπορώ να ταξιδέψω σε όποιο μακρινό γαλαξία θελήσω, και σε οσο σύντομο χρονικό διάστημα αποφασίσω!

ΑΣΚΗΣΗ: Με τί ταχύτητα (ως προς τη Γη) πρέπει να ταξιδέψω ώστε να φτάσω στην Ανδρομέδα σε 1 έτος;

Σχήμα 6: Κοσμοναύτης στο δρόμο για την Ανδρομέδα.

ΑΣΚΗΣΗ: Το μ-μεσόνιο στο σύστημα ηρεμίας του. 'Ενα μ-μεσόνιο παράχθηκε απο τη διάσπαση ενος π-μεσονίου σε ύψος h=10000 m απο την επιφάνεια του εδάφους (όπως μετριέται απο γήινο παρατηρητή) και πέφτει προς τη Γη με ταχύτητα V=0.999 c. Πόση απόσταση στο σύστημα του μεσονίου πρέπει να διανύσει μέχρι να φτάσει στη Γη; Θα προφτάσει να πέσει στη Γη προτού διασπαστεί σε $τ\sim 2.0\times 10^{-6} sec$; Συμφωνεί με το παραπάνω συμπέρασμα ένας γήινος παρατηρητής;

Σχήμα 7: μ-μεσόνιο πέφτει προς τη Γη.