Σκέδαση φωτονίων - Φαινόμενο Compton

O Arthur Compton σε πειράματα που έκανε στο πανεπιστήμιο Washington του Saint Louis των ΗΠΑ παρατήρησε οτι το μήκος κύματος ακτίνων χ αυξάνει μετά τη σκέδασή τους από την ύλη. Η άυξηση αυτή, απολύτως κατανοητή και αναμενόμενη σήμερα, ήταν αδύνατο να ερμηνευθεί από την κυματική θεωρία του φωτός, και απετέλεσε ένα ακόμη ισχυρό επιχείρημα υπέρ του σωματιδιακού χαρακτήρα της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας. Το πείραμα: Η πειραματική διάταξη που χρησιμοποίησε ο Compton φαίνεται σχηματικά στο σχήμα.

Σχήμα 18: Tο πείραμα Compton.

Μονοχρωματική δέσμη ακτίνων χ, μήκους κύματος $\lambda$, πέφτει πάνω σε κάποιο υλικό και σκεδάζεται προς διάφορες κατευθύνσεις. Χρησιμοποιώντας κατάλληλο φασματογράφο μετρούμε, για δεδομένη γωνία σκέδασης $\theta$, την ένταση του σκεδαζόμενου φωτός σαν συνάρτηση του μήκους κύματος $\lambda^\prime$. Κάποια από τα αποτελέσματα του Compton αποδίδονται στο σχήμα που ακολουθεί.

Σχήμα 19: H ένταση του σκεδασμένου φωτός συναρτήσει του μήκους κύματος $\lambda^\prime$ για τις αναγραφόμενες τιμές της γωνίας σκέδασης. H προσπίπτουσα δέσμη έχει μήκος κύματος $\lambda$.

Δύο βασικά χαρακτηριστικά των παραπάνω γραφικών παραστάσεων που καλούμαστε να εξηγήσομε είναι (α) οτι για κάθε γωνία υπάρχει ένα τοπικό μέγιστο της έντασης για $\lambda^\prime=\lambda$, και (β) οτι για μη μηδενικές γωνίες σκέδασης εμφανίζεται ένα ακόμα μέγιστο σε τιμή του $\lambda^\prime > \lambda$. Πώς εξηγούνται όλα αυτά;

'Ενα απλό μοντέλο: Για να κατανοήσομε τα παραπάνω θα μελετήσομε την σκέδαση ενός φωτονίου από ένα ακίνητο φορτίο. Χειριζόμαστε με άλλα λόγια το φως σαν μια δέσμη φωτονίων, καθένα από τα οποία θα σκεδαστεί με τον ίδιο τρόπο που θα σκεδαστεί αυτό που θα μελετήσομε. Τί είναι το φορτίο; Προφανώς, το φως σκεδάζεται από τα φορτία που βρίσκονται μέσα στην ύλη. Αυτά είναι ελεύθερα ηλεκτρόνια με μάζα m_e, ισχυρά δέσμια ηλεκτρόνια που συμπεριφέρονται σαν βαριά σωμάτια με μάζα ουσιαστικά ίση με την μάζα ολόκληρου του ατόμου, και θετικά φορτισμένοι ατομικοί πυρήνες. Κανένα από αυτά φυσικά δεν είναι ακίνητο. Υπόκεινται τόσο σε κβαντομηχανικές όσο και σε θερμικές κινήσεις. Οι χαρακτηριστικές ταχύτητες αυτών των κινήσεων είναι πολύ μικρότερες απο την ταχύτητα του φωτός και επομένως σε πρώτη προ΄σεγγιση θα τις αγνοήσομε. 'Εστω, λοιπόν οτι φωτόνιο συχνότητας ν συγκρούεται με ακίνητο φορτίο μάζας m και σκεδάζεται στην κατεύθυνση με γωνία θ ως προς την αρχική. Αντίστοιχα, το φορτίο μετά τη σύγκρουση κινείται στην κατεύθυνση φ, όπως δείχνει το σχήμα. Η ενέργεια του φωτονίου πριν τη σκέδαση είναι $Ε_1=h\nu$ και η ορμή του $p_1=h\nu/c$ στην κατεύθυνση χ. Η ενέργεια και η ορμή του φορτίου πριν τη σκέδαση είναι E₂=mc² και p₂=0, αντίστοιχα. Αν με $Ε_1^\prime$, ${\bf p}_1^\prime$ και $E_2^\prime$, ${\bf p}_2^\prime$ συμβολίσομε την ενέργεια και την ορμή του φωτονίου και του φορτίου μετά τη σκέδαση, έχομε:

$$E_1^\prime=h\nu^\prime \;,\;\; p_{1x}^\prime = {{h\nu^\prime}\over c}\cos\theta \;,\;\; p_{1y}^\prime={{h\nu^\prime}\over c}\sin\theta$$

$$p_{2x}^\prime = \vert{\bf p}_2^\prime\vert\cos\phi \;,\;\; p_{2y}^\prime=\vert{\bf p}_2^\prime\vert\sin\phi$$ (97)

Σχήμα 20: Η κινηματική της σκέδασης Compton.

Η αρχή διατήρησης και ορμής οδηγεί στις σχέσεις

$$h\nu+mc^2=h\nu^\prime+E_2^\prime$$ (98)

$${{h\nu}\over c}+0={{h\nu^\prime}\over c}\cos\theta+\vert{\bf p}_2^\prime\vert\cos\phi$$ (99)

$$0={{h\nu^\prime}\over c}\sin\theta-\vert{\bf p}_2^\prime\vert\sin\phi$$ (100)

Οι (96) και (97) γράφονται ισοδύναμα στη μορφή

$$c\vert{\bf p}_2^\prime\vert\cos\phi=h\nu-h\nu^\prime\cos\thet... ...\; c\vert{\bf p}_2^\prime\vert\sin\phi=h\nu^\prime\sin\theta$$ (101)

Υψώνοντας στο τετράγωνο τις εξισώσεις αυτές και προσθέτοντας κατά μέλη παίρνομε

$$c^2p_2^{\prime 2} = h^2(\nu^2+\nu^{\prime 2}-2\nu\nu^\prime\cos\theta)$$

$$= E_2^{\prime 2}-m^2c^4$$

$$= \Bigl(h(\nu-\nu^\prime)+mc^2\Bigr)^2-m^2c^4$$

$$= h^2(\nu-\nu^\prime)^2+2mc^2h(\nu-\nu^\prime)$$ (102)

όπου για την δεύτερη ισότητα χρησιμοποιήσαμε την σχέση $c^2p_2^{\prime 2}=E_2^{\prime 2}-m^2c^4$, ενώ για την τρίτη χρησιμοποιήσαμε την σχέση (95). Eξισώνοντας τις εκφράσεις της πρώτης και της τελευταίας γραμμής παίρνομε τελικά

$${{\nu-\nu^\prime}\over{\nu\nu^\prime}}={h\over{mc^2}}(1-\cos\theta)$$ (103)

ή ισοδύναμα

$$\fbox{$\displaystyle \lambda^\prime-\lambda={h\over{mc}}(1-\cos\theta) $ }$$ (104)

Το δεξί μέλος είναι θετικό. Το μήκος κύματος του φωτός είναι μεγαλύτερο μετά τη σκέδασή του από το φορτισμένο σωμάτιο. Η συχνότητά του αντίστοιχα μικραίνει. 'Εκπληξη κατά την κλασσική κυματική θεωρία της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας, αλλά προφανές και αναμενόμενο σύμφωνα με τον σωματιδιακό χαρακτήρα του φωτός. Η ποσότητα $\lambda_C\equiv {h/mc}$ ονομάζεται μήκος κύματος Compton του σωματίου μάζας m. Για το ηλεκτρόνιο ισούται με $\lambda_C(e)=2.426\times 10^{-12}cm=2.426pm$. Για το πρωτόνιο είναι 1850 φορές μικρότερο.

AΣΚΗΣΗ: Φωτόνιο ακτίνων χ μήκους κύματος 10.0pm=0.1Α σκεδάζεται από ακίνητο ηλεκτρόνιο. (α) Ποιό είναι το τελικό μήκος κύματος μετά απο σκέδαση σε γωνία 45⁰; Απάντηση: $\lambda^\prime=\lambda+\lambda_C(e)(1-\sqrt{2}/2)= 10.0pm+0.293\times 2.426pm=10.7pm$. (b) Σε ποιά γωνία σκέδασης θα έχει τελικά το φωτόνιο το μέγιστο μήκος κύματος; Απάντηση: Το φωτόνιο χάνει το μεγαλύτερο ποσοστό της ενέργειάς του όταν σκεδαστεί προς τα πίσω, δηλαδή για $\theta=180^0$. Οπότε $\lambda^\prime=\lambda+2\lambda_C(e)\simeq 14.9pm$.

Επιστροφή στο πραγματικό πείραμα: Είμαστε τώρα έτοιμοι να ερμηνεύσομε τα βασικά χαρακτηριστικά των πειραματικών καμπυλών του σχήματος 19. (α) Τα ισχυρά δέσμια ηλεκτρόνια και οι ατομικοί πυρήνες σκεδάζουν το φως, αλλά οι μάζες τους είναι πολλές χιλιάδες φορές μεγαλύτερες από την των ελευθέρων ηλεκτρονίων. Συνεπώς, λόγω της μεγάλης μάζας στον παρονομαστή του τύπου του Compton περιμένομε, για κάθε τιμή της γωνίας παρατήρησης, ένα μέγιστο στο $\lambda^\prime \simeq \lambda$ που προέρχεται από τη σκέδαση του προσπίπτοντος φωτός απο τα φορτία αυτά. (β) Το δεύτερο μέγιστο που εμφανίζεται στα διαγράμματα του σχήματος.....οφείλεται ακριβώς στη σκέδαση από τα ελεύθερα ηλεκτρόνια του υλικού, και βρίσκεται στην θέση που προβλέπει ο τύπος του Compton. (γ) Το οτι τα παρατηρούμενα μέγιστα δεν είναι απειροστά λεπτά, όπως θα περίμενε κανείς μέ βάση την παραπάνω ανάλυση, οφείλεται αφ' ενός στο οτι οι σκεδαστές δεν είναι ακίνητοι, και αφ' ετέρου στο οτι η αρχική δέσμη δεν είναι τέλεια μονοχρωματική.