Το φαινόμενο Doppler

'Ολοι έχομε εμπειρία του φαινομένου Doppler. 'Ολοι έχομε βρεθεί σε κάποιον αυτοκινητόδρομο και έχομε παρατηρήσει οτι ο ήχος της μηχανής ενός αυτοκινήτου είναι οξύτερος όταν αυτό μας πλησιάζει και γίνεται πιό βαθύς όταν μας προσπερνάει και απομακρύνεται. Φωτεινή πηγή είναι ακίνητη στο σύστημα αναφοράς Σ και εκπέμπει ακτινοβολία μήκους κύματος $\lambda$ ως προς το σύστημα αυτό. Παρατηρητής Σ' απομακρύνεται από την πηγή με ταχύτητα V. Θα αποδείξομε οτι ο Σ' μετράει για την εν λόγω ακτινοβολία μήκος κύματος

$$\fbox{$\displaystyle \lambda^\prime=\lambda\sqrt{{1+V/c}\over{1-V/c}} $ }$$ (113)

Ο απομακρυνόμενος από την πηγή παρατηρητής μετράει μεγαλύτερο μήκος κύματος από αυτό που μετράει παρατηρητής στο σύστημα ηρεμίας της πηγής. Αντίστοιχα, όταν ο Σ' πλησιάζει την πηγή με ταχύτητα V, τότε μετράει μικρότερο μήκος κύματος, που δίδεται από τη σχέση

$$\fbox{$\displaystyle \lambda^\prime=\lambda\sqrt{{1-V/c}\over{1+V/c}} $ }$$ (114)

Θα αποδείξομε την σχέση (109). Για το σκοπό αυτό θα θεωρήσομε τους δύο παρατηρητές Σ και Σ' του παρακάτω σχήματος.

Σχήμα 22: Το σύστημα της πηγής Σ και ο απομακρυνόμενος παρατηρητής Σ'.

Η περίοδος ενός κύματος ως προς κάποιον παρατηρητή είναι ο χρόνος που περνάει κατά τον παρατηρητή αυτόν ανάμεσα στις αφίξεις δύο διαδοχικών μεγίστων του κύματος. Αν λοιπόν $t_A^\prime$ και $t_B^\prime$ είναι οι χρονικές στιγμές στο σύστημα Σ' κατά τις οποίες φτάνουν στην αρχή των αξόνων του Σ' τα μέγιστα Α και Β του κύματος, τότε η περίοδός του T' κατά τον Σ' είναι

$$Τ' \equiv {1\over{\nu^\prime}} = \Delta t^\prime = t_B^\prime - t_A^\prime$$ (115)

Tα γεγονότα: "άφιξη του μεγίστου Α στην αρχή των αξόνων του Σ'" και "άφιξη του μεγίστου Β στην αρχή των αξόνων του Σ'" λαμβάνουν εξ' ορισμού χώρα στην ίδια θέση στο σύστημα Σ'. Επομένως, σύμφωνα με τον τύπο της διαστολής του χρόνου, άν $\Delta t=t_B-t_A$ είναι η χρονική απόσταση κατά τον Σ των δύο αυτών γεγονότων, τότε

$$\Delta t={{\Delta t^\prime}\over{\sqrt{1-V^2/c^2}}}$$ (116)

Τα γεγονότα Α και Β είναι αυτά που δείχνουν τα σχήματα...(α) και ....(β) αντίστοιχα. Σύμφωνα με τον Σ, στο χρόνο που πέρασε ανάμεσα στα δύο γεγονότα, το μέγιστο Α του κύματος διήνυσε απόσταση $\Delta s=\lambda+V\Delta t$. 'Aρα,

$$\Delta t={{\Delta s}\over c}={{\lambda+V\Delta t}\over c}={1\over \nu}+{V\over c}\Delta t$$ (117)

ή λύνοντας ως προς $\Delta t$

$$\Delta t={1\over{\nu\Bigl(1-{V\over c}\Bigr)}}$$ (118)

Αντικαθιστώντας τις (111) και (114) στην (112) παίρνομε

$$\nu\Bigl(1-{V\over c}\Bigr)=\nu^\prime\sqrt{1-{V^2}\over{c^2}} \rightarrow \nu=\nu^\prime\sqrt{{1+V/c}\over{1-V/c}}$$ (119)

ή ισοδύναμα

$$\lambda^\prime=\lambda\sqrt{{1+V/c}\over{1-V/c}}$$ (120)

όπερ έδει δείξαι.

Σχόλιο 1: Iσοδύναμα, οι τύποι (109) και (110) δίνουν το μήκος κύματος $\lambda^\prime$ που μετράει παρατηρητής ως προς τον οποίο η πηγή απομακρύνεται ή αντίστοιχα πλησιάζει με ταχύτητα V. Tο φως που παρατηρούμε απο απομακρυνόμενη πηγή παρουσιάζει μετατόπιση προς μεγαλύτερα μήκη κύματος. Το φαινόμενο καλείται μετατόπιση προς το ερυθρό (red shift). Αντίστοιχα, σε φωτεινές πηγές που πλησιάζουν παρατηρούμε μετατόπιση προς μικρότερα μήκη κύματος, μετατόπιση προς το μπλε (blue shift). Tο φαινόμενο Doppler έχει πολλές και ποικίλες πρακτικές εφαρμογές. Απο την μετακίνηση των φασματικών γραμμών, που παρατηρούμε σε μιά πηγή, μπορούμε να υπολογίσομε την ταχύτητά της. 'Ετσι μπορούμε να υπολογίσομε την ταχύτητα ροής κάποιου υγρού (όπως για παράδειγμα του αίματος στις αρτηρίες μας), ή ακόμα την ταχύτητα κάποιου απομακρυσμένου γαλαξία.

Σχόλιο 2: Στα παραπάνω έχομε περιορίσει την συζήτησή μας σε φωτεινές πηγές. 'Οπως αναφέραμε όμως και στην εισαγωγή της παραγράφου αυτής, το φαινόμενο Doppler ισχύει γενικώτερα για οποιοδήποτε κύμα. Μπορείτε να επαναλάβετε την απόδειξη για την περίπτωση ενός ακουστικού κύματος;

Σχόλιο 3: Ας πάρομε δύο παρατηρητές Σ και Σ', όπως πάντα με τους άξονες χ και $x^\prime$ ταυτισμένους και με σχετική ταχύτητα V. Φανταστείτε οτι πάνω στον κοινό άξονα χ ευρίσκεται κάποια φωτεινή πηγή, για την οποία ο Σ μετράει μήκος κύματος λ και ο Σ' λ'. Αποδείξτε οτι τα λ και λ' συνδέονται με τις σχέσεις (109) και (110) και εξηγείστε πότε ινχύει η πρώτη και πότε η δεύτερη.

Σχόλιο 4: Το μή σχετικιστικό όριο του τύπου Doppler. 'Οταν η πηγή κινείται με ταχύτητα πολύ μικρότερη της ταχύτητας του φωτός, τότε οι τύποι (109) και (110) παίρνουν την πιό γνωστή σας μορφή

$$\lambda^\prime\simeq\lambda\Bigl(1\pm {V\over c}\Bigr)$$ (121)

αντίστοιχα. Αποδείξτε το.