Tα αξιώματα της Σχετικότητας

Προκειμένου να συντομεύσομε την περιγραφή της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και των συνεπειών της, θα ξεκινήσομε με δύο αξιώματα:

1. Αξίωμα της Σχετικότητας του Einstein: Οι νόμοι της Φύσης είναι οι ίδιοι ως προς όλους τους αδρανειακούς παρατηρητές.

2. H ταχύτητα του φωτός στο κενό έχει την ίδια τιμή ως προς κάθε αδρανειακό παρατηρητή. 'Οποιος από αυτούς μετρήσει την ταχύτητα του φωτός στο κενό θα βρεί την τιμή $c=2.998\times 10^8 m/sec$ ⁵.


Μερικά σχόλια είναι απαραίτητα για την καλύτερη κατανόηση των παραπάνω αξιωμάτων:

α) Tο αξίωμα της σχετικότητας του Einstein είναι γενίκευση του αντίστοιχου αξιώματος του Γαλιλαίου, το οποίο αναφερόταν μόνο στους νόμους της Μηχανικής, και όχι γενικά σε όλους τους νόμους της Φύσης. Στο Παράρτημα Ι μπορείτε να βρείτε μιά σύντομη επανάληψη των βασικών υποθέσεων και συμμετριών της μηχανικής του Γαλιλαίου και του Νεύτωνα.

β) Τί είναι οι Αδρανειακοί παρατηρητές; 'Ενας παρατηρητής εγκατεστημένος με το εργαστήριό του στο διάστημα μακρυά από όλους τους γαλαξίες ή τα σμήνη γαλαξιών, που περιγράφει τις παρατηρήσεις και μετρήσεις του ως προς ένα σύστημα αξόνων στερεωμένο στους "απλανείς αστέρες" είναι μια εξαιρετικά καλή προσέγγιση αδρανειακού παρατηρητή. Κάθε άλλος παρατηρητής που κινείται με σταθερή ταχύτητα ως προς τον παραπάνω, είναι επίσης αδρανειακός. 'Οποτε στη συνέχεια αναφερόμαστε σε δύο αδρανειακούς παρατηρητές, θα χρησιμοποιούμε το διάγραμμα του Σχήματος 1. Χωρίς περιορισμό της γενικότητας θα προσανατολίζομε τους χωρικούς άξονες των δύο συστημάτων ώστε να είναι παράλληλοι μεταξύ τους, και με τρόπο ώστε η σχετική ταχύτητά τους να είναι στην κοινή κατεύθυνση χ.

Σχήμα 1: Σχηματική παράσταση δύο αδρανειακών συστημάτων $Σ\{x,y,z\}$ και $Σ^\prime\{x^\prime,y^\prime,z^\prime\}$, με σχετική ταχύτητα V κατά την κοινή κατεύθυνση x.

Σχήμα 2: Δύο αδρανειακά συστήματα αναφοράς με σχετική ταχύτητα V.

Για επίγεια πειράματα μελέτης φαινομένων για τα οποία μπορούμε να αγνοήσομε την βαρύτητα και την κίνηση της Γης, το σύστημα οποιουδήποτε εργαστηρίου είναι με καλή προσέγγιση αδρανειακό. Ενα εργαστήριο εγκατεστημένο σε ενα τραίνο που κινείται με σταθερή ταχύτητα, αποτελεί επίσης ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Γι'αυτο και μερικές φορές θα χρησιμοποιούμε ένα σχήμα σαν το Σχήμα 2 προκειμένου να αναφερθούμε σε δύο τετοια συστήματα. γ) Νόμοι είναι οι εξισώσεις κίνησης. 'Ετσι, σύμφωνα με την αρχή της σχετικότητας του Einstein, οι εξισώσεις κίνησης των σωματίων και των πεδίων στη Φύση είναι οι ίδιες ως προς όλους τους αδρανειακούς παρατηρητές. Ο γνωστός σας και πειραματικά επιβεβαιωμένος δεύτερος νόμος του Νεύτωνα, ότι δηλαδή ένα ελεύθερο σωμάτιο κινείται ευθυγράμμως και ισοταχώς, είναι νόμος της Φύσης και ισχύει για κάθε αδρανειακό παρατηρητή. Η ταχύτητες που μετράνε δύο διαφορετικοί τέτοιοι παρατηρητές είναι εν γένει διαφορετικές. 'Ομως και για τους δύο θα παραμένουν σταθερές. 'Ενα άλλο παράδειγμα. Οι εξισώσεις που περιγράφουν την δυναμική ενός συστήματος φορτίων σε αλληλεπίδραση με το ηλεκτρομαγνητικό τους πεδίο, έχουν την ίδια μορφή ως προς όλους τους αδρανειακούς παρατηρητές. Το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο που θα μετρήσουν σε κάποια θέση του χώρου και σε κάποια χρονική στιγμή δύο διαφορετικοί παρατηρητές θα είναι διαφορετικά. Η ταχύτητες και οι επιταχύνσεις των φορτίων που θα μετρήσουν κάποια χρονική στιγμή οι παρατηρητές θα είναι εν γένει διαφορετικές. Οι νόμοι όμως που διέπουν την δυναμική τους, δηλαδή οι εξισώσεις που συνδέουν τα μεγέθη αυτά και καθορίζουν την παραπέρα χρονική εξέλιξη του συστήματος των σωματίων και των πεδίων, είναι ταυτόσημοι. Συνεπώς, δεν είναι δυνατόν με πειράματα που εκτελούμε σε ένα αδρανειακό σύστημα να αποφανθούμε αν κινείται ή όχι με σταθερή ταχύτητα, και να μετρήσομε την ταχύτητα αυτή.

γ) Ανάποδα, η αρχή της σχετικότητας του Einstein επιβάλλει περιορισμούς και μας καθοδηγεί στην αναζήτηση άγνωστων μέχρι σήμερα νόμων που διέπουν τα φυσικά συστήματα. Οι θεμελιώδεις νόμοι της δυναμικής των έσχατων συστατικών της ύλης και των φορέων των αλληλεπιδράσεων στη Φύση δεν είναι αυθαίρετοι. Αποδεκτοί είναι μόνο εκείνοι που υπακούουν στην αρχή της σχετικότητας, έχουν δηλαδή την ίδια μορφή ως προς όλους τους αδρανειακούς παρατηρητές. 'Οπως θα δούμε παρακάτω, η μηχανική των Γαλιλαίου-Νεύτωνα δεν σέβεται την αρχή της σχετικότητας του Einstein. 'Αρα δεν μπορεί σύμφωνα με τα παραπάνω να αποτελεί θεμελιώδη θεωρία της φύσης. Aπο την άλλη όμως περιγράφει με εξαιρετική ακρίβεια την κίνηση των πλανητών γύρω από τον ήλιο, ή την βολή βλήματος στο βαρυτικό πεδίο της γης. 'Οπως θα γίνει σαφές παρακάτω, η μηχανική του Νεύτωνα είναι μια πολύ καλή προσέγγιση της σχετικιστικής μηχανικής όταν εφαρμόζεται για την μελέτη συστημάτων σωματίων που κινούνται με ταχύτητες πολύ μικρότερες από την ταχύτητα του φωτός.


ΕΡΩΤΗΣΗ: Ποιές είναι οι τυπικές ταχύτητες των πλανητών γύρω από τον ήλιο; Ποιές είναι οι τυπικές σχετικές ταχύτητες τών αστέρων του γαλαξία μας; Ποιές είναι οι τυπικές ταχύτητες των ηλεκτρονίων σε ένα άτομο; 'Ολες αυτές είναι πολύ μικρότερες από την ταχύτητα του φωτός στο κενό και σωστά χρησιμοποιούσατε το τυπολόγιο της μηχανικής του Νεύτωνα για να περιγράψετε τα αντίστοιχα συστήματα.

ΕΡΩΤΗΣΗ: Με τί ταχύτητα κινούνται τα φωτόνια; Με τί ταχύτητα απομακρύνονται από εμάς οι πιό μακρινοί γαλαξίες πού έχομε παρατηρήσει; Η περιγραφή τέτοιων συστημάτων με την Νευτώνια μηχανική οδηγεί σε συμπεράσματα που απέχουν πολύ από την πραγματικότητα.


δ) Ενώ το πρώτο αξίωμα είναι τουλάχιστον φραστικά γνώριμο από την εποχή του Γαλιλαίου και του Νεύτωνα, και αποτελεί μια εύκολα αποδεκτή απαίτηση πάνω στη δομή των φυσικών νόμων, το δεύτερο εκπλήσσει, αφού είναι σε προφανή αντίθεση με φαινομενικά εδραιωμένη γνώση για τη φύση. Ας θεωρήσομε το σκηνικό του σχήματος 2 και ας πάρομε ένα σώμα να κινείται μέσα στο τραίνο με ταχύτητα $v^\prime$ ως προς αυτό και προς τα δεξιά. Θα λέγατε λοιπόν οτι σε χρόνο Δt το σώμα διανύει μιά απόσταση $v^\prime\Delta t$ μέσα στο τραίνο. Ως προς τον παρατηρητή της αποβάθρας από την άλλη μεριά, στο ίδιο χρονικό διάστημα Δt το τραίνο έχει μετατοπιστεί ολόκληρο κατά $V \Delta t$. Συνολικά, επομένως, ως προς την αποβάθρα το σώμα θα έχει διανύσει απόσταση $(v^\prime+V)\Delta t$. H ταχύτητά του θα είναι

$$v=v^\prime + V$$ (4)

o γνώριμός σας κανόνας σύνθεσης ταχυτήτων (βλέπε Παράρτημα Ι). Στη θέση του σώματος ας πάρομε τώρα ένα φωτεινό σήμα. Αν $c^\prime$ είναι η ταχύτητα του μετώπου του σήματος αυτού ως προς το τραίνο, η ταχύτητά του ως προς την αποβάθρα θα είναι

$$c=c^\prime +V \neq c^\prime \; !$$ (5)

Πώς τολμάει λοιπόν κάποιος να ισχυρίζεται οτι η ταχύτητα του φωτός έχει την ίδια τιμή ως προς όλους τους παρατηρητές; Ποιά είναι η λύση του παράδοξου; Πού είναι το λάθος στον παραπάνω συλλογισμό;

Κατ' αρχήν αυτό υποδεικνύουν τα αποτελέσματα του πειράματος των Michelson και Morley, που θα περιγράψομε σε κάποιο παράρτημα. Από την άλλη, όπως θα δούμε ευθύς αμέσως το δεύτερο αξίωμα συνεπάγεται οτι είμαστε υποχρεωμένοι να εγκαταλείψομε την υπόθεση που κάναμε παραπάνω, οτι δηλαδή το χρονικό διάστημα Δt ανάμεσα σε δύο γεγονότα είναι ανεξάρτητο απο τον παρατηρητή, το ίδιο τόσο για τον παρατηρητή στο τραίνο όσο και για τον παρατηρητή στην αποβάθρα. 'Οπως σας υπενθυμίζω στο Παράρτημα Ι, η ύπαρξη ενός απόλυτου παγκόσμιου χρόνου ήταν βασική υπόθεση της μηχανικής των Γαλιλαίου και Νεύτωνα. Αυτό δεν είναι αλήθεια. Κάθε σύστημα αναφοράς, κάθε παρατηρητής χρησιμοποιεί τον δικό του χρόνο για τον χαρακτηρισμό των γεγονότων και την μέτρηση των χρονικών αποστάσεων ανάμεσά τους.