Κατώφλι ενέργειας στο σύστημα του εργαστηρίου

Σωμάτιο Α (βλήμα) με ενέργεια Ε_Α πέφτει σε ακίνητο σωμάτιο Β (στόχος). Να υπολογιστεί η ελάχιστη τιμή της Ε_Α ώστε να συμβεί η αντίδραση

$$A+B \to C_1+C_2+...+C_n$$ (105)

όπου το σωμάτιο C_i έχει μάζα m_i, i=1,2,...n. Tο ερώτημα είναι μή τετριμμένο μόνο όταν το άθροισμα των μαζών των προιόντων είναι μεγαλύτερο από αυτό των αντιδρώντων, δηλαδή όταν m_A+m_B<m₁+m₂+...+m_n. Στην αντίθετη περίπτωση η ενέργεια ηρεμίας των αντιδρώντων είναι ήδη αρκετή για να οδηγήσει στα προιόντα που ζητάμε. Η συνθήκη για το ελάχιστο της απαιτούμενης ενέργειας διατυπώνεται πολύ απλά στο σύστημα κέντρου μάζης των αντιδρώντων. 'Εχω διαθέσει την ελάχιστη ενέργεια όταν τα προιόντα παράγονται όλα ακίνητα ¹⁵. Τότε η τελική ενέργεια του συστήματος είναι Ε_ολική^CM=(m₁+m₂+...+m_n)c²=E_min^CM. Στο σύστημα του εργαστηρίου πριν την αντίδραση έχομε την εικόνα του Σχήματος....

Σχήμα 21: Η εικόνα του συστήματος πριν την αντίδραση στο σύστημα του εργαστηρίου, και μετά την αντίδραση στο σύστημα κέντρου μάζης.

H ολική ενέργεια και ορμή του συστήματος είναι:

$$E_{αρχική}^{lab}=E_A+m_Bc^2 \;,\;\; P_{αρχική}^{lab}={1\over c}\sqrt{E_A^2-m_A^2c^4}$$ (106)

ενώ αντίστοιχα για την κατάσταση του συστήματος μετά την αντίδραση στο σύστημα Κέντρου Μάζης έχομε

$$E_{τελική}^{CM}=(m_1+m_2+...+m_n)c^2 \;,\;\; P_{τελική}^{CM}=0$$ (107)

Χρησιμοποιώ τους νόμους διατήρησης ενέργειας και ορμής και γράφω

(E_αρχική^lab)²-c²(P_αρχική^lab)²= (E_τελική^lab)²-c²(P_τελική^lab)² (108)

Χρησιμοποιώ το γεγονός οτι το σύστημα Κέντρου Μάζης είναι και αυτό αδρανειακό, και οτι η ποσότητα Ε²-c²P² παραμένει αναλλοίωτη όταν αλλάζομε αδρανειακό σύστημα, και γράφω

(E_τελική^lab)²-c²(P_τελική^lab)²= (E_τελική^CM)²-c²(P_τελική^CM)² (109)

'Aρα τελικά έχω τη σχέση

(E_αρχική^lab)²-c²(P_αρχική^lab)²= (E_τελική^CM)²-c²(P_τελική^CM)² (110)

ή ισοδύναμα

(E_A+m_Bc²)²-(E_A²-m_A²c⁴)=(m₁+m₂+...+m_n)²c⁴ (111)

Λύνοντας ως προς Ε_A βρίσκομε

$$E_A={{(m_1+m_2+...+m_n)^2-m_A^2-m_B^2}\over{2m_B}}c^2$$ (112)

για την ζητούμενη ελάχιστη ενέργεια.